Суббота, 08.02.2025, 18:59
                                                                                                                                                         
Главная | Регистрация | Вход Приветствую Вас Гость | RSS
прокрутить вправо
прокрутить влево
Меню сайта
Наш форум
Статистика
Полная статистика
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0
Онлайн всего: 1
Гостей: 1
Пользователей: 0

З АЛГЕБРИ

ФОРМУЛИ З АЛГЕБРИ  

            (a*m)/(b*m)=a/b     a/c + b/c = (a + b) / c      a/c - b/c = (a - b) / c     a/b * c/d = a*c / b*d        (a/b)^n = a^n / b^n       a/b : c/d = a/b * d/c     


1. Степінь з натуральним показником

a^m*a^n = a^(m+n)

a^m/(a^n) = a^(m-n)

(a*b)^n = a^n*b^n

(a^m)^n = a^(m*n)

(a/b)^n = a^n/(b^n)

Якщо a>b, b>0, то

a^n>b^n


2. Степінь з цілим показником

a^(-n) = 1/(a^n),

де a<>n, n - ціле.

a^0 = 1

3. Степінь з раціональним показником

a^(m/n) = (a^m)^(1/n),

де a > 0, m - ціле, n - натуральне.

4. Арифметичний корінь

(a^2)^(1/2) = abs(a)

(a*b)^(1/2) = a^(1/2)*b^(1/2)

(a/b)^(1/2) = a^(1/2)/b^(1/2)

(b^2*a)^(1/2) = abs(b)*a^(1/2)

Якщо

a^(1/n) = b,

то

b^n = a, b >= 0.

(a^(1/k))^(1/n)=a^(n*k)

(a^k)^(1/n)=(a^(1/n))^k


инесення множника з-під знака кореня

  1. Підкореневий вираз розкладіть на множники, серед яких є квадрати виразів.
  2. Застосуйте теорему про корінь з добутку.
  3. Знайдіть добуток одержаних множників.
  4. Запишіть відповідь.

Внесення множника під знак кореня

  1. Множник перед знаком кореня піднесіть до квадрата.
  2. Запишіть одержаний квадрат під знаком даного кореня.
  3. Знайдіть добуток виразів під знаком кореня.
  4. Запишіть відповідь.

. Лінійні рівняння

a*x+b = c, a <> 0

Розв'язок

x = (c-b)/a.


2. Квадратне рівняння

a*x^2+b*x+c = 0.

Якщо a рівне нулю, то це рівняння зводиться до попереднього.

Дискримінант

D = b^2-4*a*c

Якщо

D >= 0,

то розв'язки:

x1 = (-b+sqrt(D))/2*a

x2 = (-b-sqrt(D))/2*a

Якщо

D < 0

то розв'язків немає.


Рівняння виду

x^2+p*x+q = 0

називається зведеним квадратним рівнянням.

Для зведеного квадратного рівняння справедливі рівності:

x1+x2 = -p– теорема Вієта
x1*x2 = q

Звідси випливає:

a*x^2+b*x+c = a*(x-x1)*(x-x2)


Загальні формули і особливі випадки розв'язування системи

Розв'язати систему рівнянь виду

ax+by=c, a1x+b1y=c1

можна швидше, якщо застосовувати загальні формули. Останні можна отримати будь-яким способом, наприклад, способом додавання і віднімання. Розв'язок буде мати вигляд

x=(b1c-bc1)/(ab1-a1b)

y=(ac1-a1c)/(ab1-a1b)

При розв'язуванні системи рівнянь можуть виникнути три різних випадки.

  1. Коефіцієнти при невідомих непропорційні:

    a/a1=b/b1

    Тоді, якими б не були вільні члени, рівняння має єдиний розв'язок, який наведений вище.
  2. Коефіцієнти при невідомих пропорційні:

    a/a1!=b/b1

    Тоді важливо знати, чи знаходяться в тому ж відношенні і вільні члени. Якщо знаходяться:

    a/a1!=b/b1=c/c1

    то система рівнянь має безліч розв'язків. Причина цього та, що в розглянутому випадку одне із рівнянь є наслідком іншого, так що фактично в нас одне рівняння, а не два.
  3. Коефіцієнти при невідомих пропорційні:

    a/a1!=b/b1

    але вільні члени не знаходяться в тому ж відношенні. Тоді система не має розв'язку, тому що рівняння один одному протирічять.


1. Нерівності з однією змінною мають вигляд:

f(x)>g(x),

f(x)<g(x),

f(x)>=g(x),

f(x)<=g(x).

Розв’язком нерівності називається множина значень змінної, при яких дана нерівність буде правильною числовою нерівністю.

Дві нерівності називаються рівносильними, якщо множини їхніх розв’язків збігаються.

Основна ідея розв’язування нерівності полягає в заміні нерівності більш простою, але рівносильною заданій.

2. При розв’язуванні нерівності використовують такі правила перетворення нерівності в рівносильну:

а) будь-який член нерівності можна перенести з однієї її частини в іншу з протилежним знаком, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

б) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме додатне число, залишивши при цьому без зміни знак нерівності;

в) обидві частини нерівності можна помножити або поділити на одне й те саме від’ємне число, змінивши при цьому знак нерівності на протилежний;

г) якщо для одних і тих самих значень  справедливі нерівності

f(x)>0, g(x)>0 і f(x)>g(x),

то для тих самих значень x виконується нерівність

( f(x) )^n > ( g(x) )^n, n - натуральне

3. Нехай задана нерівність має вигляд

f(x) / g(x) > 0

(замість знака > можуть бути знаки <, >=, <=, а функція в знаменнику може бути сталого) або вона приведена до цього вигляду за допомогою правил вказівки 2.

Для розв’язування нерівності застосовується метод інтервалів (метод проміжків), який полягає в тому, що:

а) на числову вісь наносять точки

x_1, x_2, ..., x_n

що розбивають її на проміжки, в яких вираз

f(x)/g(x),

визначено і зберігає знак (плюс або мінус). Такими точками можуть бути корені рівнянь

f(x)=0 і g(x)=0.

Відповідні цим кореням точки позначають на числовій осі: зафарбованими кружками — точки, що задовольняють задану нерівність, а світлими кружками — точки, що не задовольняють її;

б) відшукують і позначають на числовій осі знак виразу

f(x)/g(x),

для значень x, які належать кожному з одержаних проміжків. Якщо функції

f(x) і g(x)

є многочленами і не містять множників виду

(x-a)^(2n), де n - натуральне,

то достатньо визначити знак функції

f(x)/g(x)

в будь-якому такому проміжку, а в решті проміжків знаки плюс і мінус будуть чергуватися.

Якщо ж у чисельнику і знаменнику дробу

f(x)/g(x)

є множник виду

(x-a)^(2n), де n - натуральне,

то, покладаючи

x!=a,

ділять обидві частини зада ної нерівності на множник

(x-a)^(2n),

додатний при всіх значеннях

x!=a

(дивіться вказівку 2), і безпосередньою перевіркою з’ясовують, чи задовольняє значення

x=a

задану нерівність.

4. Розглянемо розв’язування квадратної нерівності

ax^2 + bx + c > 0     (1)

у випадку від’ємного дискримінанта квадратного тричлена

ax^2 + bx + c (D = b^2 - 4ac < 0).

Якщо

a > 0,

то нерівність (1) виконується при всіх значеннях x.

Якщо ж

a < 0,

то нерівність не виконується ні при якому значенні x.

5. Ірраціональна нерівність

sqrt( f(x) ) < g(x)     (2)

рівносильна системі нерівностей

     (3)

6. Ірраціональна нерівність

sqrt( f(x) ) > g(x)     (4)

рівносильна сукупності двох систем нерівностей

     (5)

7. Показникова нерівність

a^f(x) > a^g(x)     (6)

При a > 1 рівносильна нерівності

f(x)>g(x)     (7)

а при 0 < a < 1 — нерівності

f(x)<g(x)     (8)

8. Логарифмічна нерівність

log_a[f(x)] > log_a[g(x)]     (9)

При a > 1 рівносильна системі нерівностей

     (10)

а при 0 < a < 1 — системі нерівностей

     (11)


Елементарні функції:

1. Пряма пропорційність

y = k*x,

k - число. Графік - пряма, що проходить через початок координат під кутом до осі абсцис

tg(alpha) = k

2. Лінійна функція

y = k*x+l,

k, l - числа. Графік - пряма, що перетинає вісь абсцис у точці

(-l/k;0),

ординат

(0;l).

3. Обернена пропорційність

y = k/x

Графік гіпербола.

4. Квадратична функція

y = a*x^2+b*x+c,

a ( a<>0 ), b, c - числа.

Графік парабола.

5. Степенева функція

y = x^p.

Якщо p - натуральне і парне, то графік симетричний відносно осі OY; натуральне і непарне - відносно початку координат; від'ємне і непарне - гіпербола в 1 і 3-й координатних чвертях; від'ємне і парне - гіпербола в 1 і 4-й координатних чвертях.


Формули скороченого множення

a^2-b^2 = (a-b)*(a+b)

(a+b)^2 = a^2+2*a*b+b^2

(a-b)^2 = a^2-2*a*b+b^2

a^3+b^3 = (a+b)*(a^2-a*b+b^2)

a^3-b^3 = (a-b)*(a^2+a*b+b^2)

(a+b)^3 = a^3+3*a^2*b+3*a*b^2+b^3

(a-b)^3 = a^3-3*a^2*b+3*a*b^2-b^3

(a+b)^4 = a^4+4*a^3*b+6*a^2*b^2+4*a*b^3+b^4

(a-b)^4 = a^4-4*a^3*b+6*a^2*b^2-4*a*b^3+b^4

(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2*a*b+2*a*c+2*b*c                                                                                                                                  
Поиск
Форма входа
Все о аниме